Cours de mathématiques de licence

On introduit dans ce cours l'analyse complexe.

Après une introduction des fonctions holomorphes (« fonctions complexes dérivables »), on mène une étude sur les séries entières de la variable complexe. Cette étude continue sur une étude des fonctions analytiques complexes, en voyant notamment le principe du maximum.

On passera par la suite à la théorie de Cauchy en introduisant l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un lacet qui donnera le théorème de Cauchy et qui aboutira au fait qu'une fonction holomorphe est analytique.

On terminera par l'étude des fonctions méromorphes (localement quotient de deux fonctions holomorphes). On s'intéressera aux singularités des fonctions méromorphes et on terminera sur le théorème des résidus.

On commence par aborder la résolution de systèmes linéaires afin d'introduire la décomposition LU.

Une rapide introduction à la théorie des groupes précède la présentation du déterminant.
À la suite, on s'intéresse à la diagonalisation puis aux différentes réductions d'endomorphisme (Dunford, Jordan).

Ensuite, on voit successivement les formes bilinéaires, les espaces euclidiens puis les espaces hermitiens.

On termine ce cours par les décomposition de Cholesky et QR.